前言

这是学习记，板子准备在另一个博客用。

kruskal 重构树

我们考虑如何处理 A,BA,B 两点路径中最大边最小？

很贪心的，我们考虑从小到大加入边，那么显然，仅需满足 A,BA,B 在一个并查集，即有路径中的最小的最大边。

那么多次询问怎么办？带撤销并查集然后胡乱弄个operator跑莫队？

显然不是，这就是 kruskal\text{kruskal} 重构树可以解决的问题

我们考虑如何表示路径？把一条边 {x,y,dis}\{x,y,dis\} 取出来然后它单独生成一个点，点权pip_i表示边的大小，然后再让这个新点代替x,yx,y ,继续操作，既有以下性质：

plca(x,y)p_{lca(x,y)} 即为 x,yx,y 两点的路径的最小的最大值。

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void getkruskal()
{
	for(int i=1;i<=n*2;i++) fat[i]=i,sz[i]=1;
	for(int i=1;i<=n*2;i++) head[i]=0;
	s1ze=0;
	sort(e+1,e+m+1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int tx,ty;
		tx=getf(e[i].x);
		ty=getf(e[i].y);
		if(tx==ty) continue;
		fat[tx]=fat[ty]=++cnt;
		hei[cnt]=e[i].height;//另一道题得用这个排序
		addedge(cnt,tx,0);
		addedge(tx,cnt,0);
		addedge(cnt,ty,0);
		addedge(ty,cnt,0); //此处这样加边也没必要
	}
	rt=cnt;
}

实际上点数应该是 2n−12n-1

例题

P4768 [NOI2018] 归程

此时我们可以根据高度排序重构这树，然后找到高度大于 kk 的边代表的点的子树中最小的到 11 的距离 即可。

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int maxn=800400;

int n,m,q,k,s;
int f[20][maxn];
int fat[maxn],sz[maxn];
int dep[maxn];
int l2[maxn];
int vis[maxn],dis[maxn];
int hei[maxn];
int cost[maxn],head[maxn];
int s1ze,rt,cnt,T;

struct edge{
	int next,to,dis;
}e[maxn<<1];

void addedge(int next,int to,int dis)
{
	e[++s1ze].next=head[next];
	e[s1ze].to=to;
	e[s1ze].dis=dis;
	head[next]=s1ze;
}

namespace prein{
	
	struct edge{
		int x,y,dis,height;
		bool operator <(edge &b)
		const	{
			return height>b.height;
		}
	}e[maxn];
	
	int getf(int x)
	{
		if(x==fat[x]) return x;
		return fat[x]=getf(fat[x]);
	}
	
	void getkruskal()
	{
		for(int i=1;i<=n*2;i++) fat[i]=i,sz[i]=1;
		for(int i=1;i<=n*2;i++) head[i]=0;
		s1ze=0;
		sort(e+1,e+m+1);
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int tx,ty;
			tx=getf(e[i].x);
			ty=getf(e[i].y);
			if(tx==ty) continue;
			fat[tx]=fat[ty]=++cnt;
			hei[cnt]=e[i].height;
			addedge(cnt,tx,0);
			addedge(tx,cnt,0);
			addedge(cnt,ty,0);
			addedge(ty,cnt,0);
//			cout<<tx<<" "<<ty<<" "<<cnt<<endl;
		}
		rt=cnt;
	}
}

void dij()
{
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(hei,0,sizeof(hei));
	priority_queue <pair<int,int> > q;
	q.push(make_pair(0,1));
	dis[1]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int t=q.top().second;
		q.pop();
		if(vis[t]) continue;
		vis[t]=1;
		for(int i=head[t];i;i=e[i].next)
		{
			int j=e[i].to;
			int k=e[i].dis;
			if(dis[j]>dis[t]+k)
			{
				dis[j]=dis[t]+k;
				q.push(make_pair(-dis[j],j)); 
			}
		}
	}
}

void dfs(int t,int fat)
{
//	cout<<t<<endl;
	f[0][t]=fat;
	dep[t]=dep[fat]+1;
	for(int i=1;i<=l2[dep[t]];i++) f[i][t]=f[i-1][f[i-1][t]];
	for(int i=head[t];i;i=e[i].next)
	{
		int j=e[i].to;
		if(j==fat) continue;
		dfs(j,t);
		dis[t]=min(dis[t],dis[j]);
//		if(!hei[t]) hei[t]=hei[j];
//		if(j>n) hei[t]=min(hei[t],hei[j]);
	}
}

int getlca(int x,int y)
{
	if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	int t=0;
	for(int i=20;i;i--)
	{
		if(dep[x]<dep[y]-(1<<i)) y=f[i][y];
	}
	if(x==y) return x;
	for(int i=20;i;i--)
	{
		if(f[i][x]==f[i][y]) continue;
		x=f[i][x];y=f[i][y];
	}
	return f[0][x];
}

int getans(int x,int val)
{
	for(int i=l2[dep[x]];i>=0;i--)
	{
		if(hei[f[i][x]]>val) x=f[i][x];
	}
	return x;
}

void solve()
{
	hei[0]=-1;
	memset(f,0,sizeof(f));
	memset(head,0,sizeof(head));
	memset(dep,0,sizeof(dep));
	s1ze=0;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	cin>>prein::e[i].x>>prein::e[i].y>>prein::e[i].dis>>prein::e[i].height;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		addedge(prein::e[i].x,prein::e[i].y,prein::e[i].dis);
		addedge(prein::e[i].y,prein::e[i].x,prein::e[i].dis);
	}
	cnt=n;
	dij();
	prein::getkruskal();
	dfs(rt,rt);
	cin>>q>>k>>s;
	int lasans=0;
	for(int i=1;i<=q;i++)
	{
		int v,p;
		cin>>v>>p;
		v=(v+1ll*k*lasans-1)%n+1;
		p=(p+1ll*k*lasans)%(s+1);
		p=getans(v,p);
		cout<<dis[p]<<endl;
		lasans=dis[p];
	}
}

int main()
{
//	freopen("1.txt","r",stdin);
//	freopen("2.txt","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin>>T;
	for(int i=2;i<=400000;i++)
	{
		l2[i]=l2[i>>1]+1;
	}
	while(T--)
	{
		solve();
	}
	return 0;
}